מדריך לימוד יסודות: פילוסופיה של המתמטיקה

הפילוסופיה של המתמטיקה היא המחקר הפילוסופי של המושגים והשיטות של המתמטיקה. הוא עוסק בטבעם של מספרים, עצמים גיאומטריים ומושגים מתמטיים אחרים; היא עוסקת במקורותיהם הקוגניטיביים וביישומם למציאות. הוא מתייחס לאימות של שיטות הסקה מתמטית. בפרט, הוא עוסק בבעיות הלוגיות הקשורות לאינסוף מתמטי.

בין המדעים, למתמטיקה יש יחס ייחודי לפילוסופיה. מאז ימי קדם, פילוסופים קינאו, כמודל של שלמות לוגית, בגלל הבהירות של מושגיו ואת הוודאות של מסקנותיו, ולכן הקדישו מאמץ רב להסביר את טבעה של המתמטיקה.

מדריך מחקר זה ימליץ על מקורות המספקים מבוא לסוגיות המרכזיות בפילוסופיה של המתמטיקה, ולהשקפות החשובות מבחינה היסטורית בנושאים אלה. היכרות מסוימת עם המתמטיקה היא תנאי מוקדם לחשיבה על נושאים אלה. הספר מהי מתמטיקה?, מאת ריצ'רד קורנט והרברט רובינס, הוא תערוכה מבריקה של הנושאים והשיטות של המתמטיקה המודרנית. הספר מיועד להדיוטות, אך אף אחת ממהותה של המתמטיקה לא הושמטה; זה לא ספר פשוט, אבל הוא מתגמל.

נופים היסטוריים

רוב הפילוסופים הציגו את דעותיהם על המתמטיקה בעבודות על נושאים כלליים יותר. האנתולוגיה "פילוסופיה ומתמטיקה " מאת רוברט באום מכילה מבחר על מתמטיקה מפי רוב הפילוסופים המערביים החשובים, מאפלטון ועד מיל. הבחירות כוללות מספיק חומר כדי לספק הקשר להשקפותיו של כל פילוסוף על המתמטיקה, ומאמרי המבוא של באום מתחקים אחר ההשפעות הפילוסופיות על כל הוגה.

הדעות המשפיעות ביותר היו אלה של אפלטון וקאנט, ולבאום יש קטע על כל אחת מהן. אובייקטיביסטים מתעניינים אולי ירצו להשלים את החלק של באום על אריסטו עם מבט על ספרו של תומס הית', מתמטיקה באריסטו. ספרו של באום מכיל גם כמה מסות מודרניות, ששווה לקרוא את "חמקמקות הסטים" של מקס בלאק, ביקורת על האפיסטמולוגיה של תיאורטיקנים של קבוצות.

ניתוח

תורת המכניקה של ניוטון, והמצאתו את החשבון האינטגרלי והדיפרנציאלי התומכים בה, הם בין ההישגים הגדולים ביותר בהיסטוריה. הרעיון המרכזי של גבול הוא עדין מבחינה לוגית (עדינות זו היא שהופכת את פרדוקס אכילס של זנו למביך), וניוטון לא התייחס לגבולות בקפדנות. מתנגדיו – ובראשם ברקלי – עשו הרבה מהפגם הזה. קאוצ'י, ויירשטראס ומתמטיקאים אחרים מהמאה ה-19 פיתחו תיאוריה קפדנית של גבולות, שסיפקה בסיס בלתי ניתן לערעור לתיאוריה של ניוטון ומהווה אבן פינה באנליזה המתמטית המודרנית. סיפור הצלחה אפיסטמולוגי זה מסופר היטב בספרו של קרל בוייר "תולדות החשבון והתפתחותו הרעיונית".

פנינה לוגית נוספת שהיא מאפיין מרכזי של האנליזה המתמטית המודרנית היא הרעיון של בעיה שהוצגה היטב, אשר הוצגה על ידי המתמטיקאי ז'אק האדמרד. כאשר מוצעת בעיה מתמטית חדשה, סדר העדיפויות הראשון של המתמטיקאים הוא לקבוע שלבעיה יש פתרון, שיש לה רק פתרון אחד, ושהפתרון תלוי בצורה סבירה בנתונים (למשל, אם המשוואה מתייחסת למתח להארה בנורה, עלייה זעירה במתח אמורה לגרום רק לעלייה קטנה בתאורה).

בעיה שיש לה תכונות אלה נקראת "מוצגת היטב". כאשר מתמטיקאים קובעים שבעיה מתמטית מוצגת היטב, הם מבטיחים שזו שאלה סבירה לשאול לפני שהם מנסים לענות עליה. לחוקרים בתחומים רבים אחרים מומלץ לאמץ הרגלים אפיסטמולוגיים זהירים כאלה. למרבה הצער, אין מבוא פילוסופי לנושא זה.

סוגיות מודרניות

ההשקפה הרווחת כיום היא שהמתמטיקה עברה סדרה של משברים לוגיים או אפיסטמולוגיים שעשו לה נזק חמור. להיסטוריה של "משברים" אלה (למשל המצאת הגאומטריה הלא-אוקלידית וגילוי הפרדוקסים של תורת הקבוצות), ולסקירה יסודית של הסוגיות בפילוסופיה המתמטית המודרנית, ראו מתמטיקה של מוריס קליין : אובדן הוודאות. קליין היה מתמטיקאי; ספר זה משקף במדויק את סוג הגישה שבה נתקלים המתרגלים, והוא מתועד היטב במתמטיקה רלוונטית.

כדי לקבוע אם יש פגמים ביסודות של נושא, יש לענות תחילה על השאלה האפיסטמולוגית הבסיסית יותר של מה מהווה יסוד ראוי. העמדה האובייקטיביסטית שכל הידע חייב להיות מעוגן בתפיסה, להיתפס ולהיות מאורגן מבחינה מושגית, לא מילאה כמעט שום תפקיד בהתפתחות ההיסטורית של הפילוסופיה של המתמטיקה. המשימה העיקרית של גישה אובייקטיביסטית היא לקרקע את המתמטיקה באופן אובייקטיבי. משימה משנית חשובה היא להסביר כיצד הנחות יסוד אפיסטמולוגיות אחרות הביאו לתחושת המשבר והספק שאפיינו את התחום.

"הפילוסופיה של המתמטיקה" של סטפן קורנר, מאמר מבוא, הוא טיפול פחות מפורט מבחינה היסטורית ומתמטית מזה של קליין, אך הוא מתוחכם יותר מבחינה פילוסופית. קורנר מקדיש שני פרקים כל אחד – אחד חושפני ואחד ביקורתי – לכל אחת משלוש האסכולות המודרניות העיקריות בפילוסופיה מתמטית: הפורמליסטים, הלוגיקנים והאינטואיציות. המצגת של קורנר ברורה, תמציתית ובלתי משוחדת.

לוגיקה

האסכולה הלוגית, שדמויותיה המרכזיות הן ברטרנד ראסל וגוטלוב פרגה, נועדה "לצמצם את המתמטיקה ללוגיקה". המבוא של ראסל לפילוסופיה מתמטית הוא מבוא לא טכני לתוכנית הלוגיקנית. התפיסה הלוגית של הלוגיקה שונה בתכלית מהתפיסה האובייקטיביסטית, או באופן כללי יותר, מהתפיסה האריסטוטלית של הלוגיקה; וזוהי השקפה של לוגיקה המונחת ברוב הפילוסופיה המתמטית המודרנית. המבוא של ראסל הוא אקספוזיציה ברורה במיוחד של תפיסה זו של לוגיקה ויישומה במתמטיקה. זה בעל ערך כמדריך להנחות כי גישה אובייקטיבית ליסודות המתמטיקה תצטרך לאתגר.

עבודותיו של הנרי ואץ', ובראשן לוגיקה מכוונת, מבקרות את תפיסת הלוגיקה של ראסל מנקודת מבט אריסטוטלית. ואץ' טוען מתוך עיקרון שהאובייקטיביזם מסכים איתו – שהתודעה היא מכוונת, שהיא תמיד של או על עולם שקיים ויש לו זהות ללא תלות בתודעה.

פורמליזם

האסכולה הפורמליסטית נוסדה על ידי המתמטיקאי דייוויד הילברט. הפורמליסטים מבקשים לבטא את המתמטיקה כמערכות לוגיות פורמליות בלבד, ולחקור אותן ככאלה, ללא דאגה למשמעותן. (זאת בניגוד ללוגיקנים, המבקשים לקבוע את משמעותם של מושגים מתמטיים על ידי הגדרתם במונחים של מושגים של לוגיקה.) המוטיבציה העיקרית שלהם הייתה להצדיק את המתמטיקה של קבוצות אינסופיות, שפותחה על ידי גיאורג קנטור בסוף המאה ה -19. הפורמליסטים קיוו לבטא את המתמטיקה של קבוצות אינסופיות במערכת כזו, ולבסס את העקביות של אותה מערכת בשיטות סופיות. אם הם היו מצליחים בכך, הם חשבו, הם היו מצדיקים את השימוש בסטים אינסופיים מבלי להתייחס לשאלה הסבוכה של מה הם בדיוק סטים כאלה.

הגישה הפורמליסטית מוסברת ומומחשת ב "הוכחת גודל " מאת ארנסט נאגל וג'יימס ניומן. ספר קצר זה הוא יצירת מופת בהנגשת חומר מתוחכם למי שאינו מומחה. הספר מתחיל באקספוזיציה של פורמליזם, ומסתיים במתווה קריא מאוד של הוכחת משפט אי-השלמות של קורט גודל. משפט זה הראה, במונחים של הפורמליסטים עצמם, שתוכניתם בלתי נסבלת.

אינטואיציה

האינטואיציה, שמנהיגה היה המתמטיקאי L.E.J. Brouwer, ידועים בעיקר בשמרנותם לגבי אינסוף מתמטי. הם מתנגדים להחלת חוק האמצע המודר למשפטים הכוללים אינסוף מתמטי, כמו בהוכחה הלובשת את הצורה הבאה: או שיש מספר עם המאפיין P או שאין; אם לא, תבוא תוצאה שידועה כשקרית; לכן קיים מספר עם המאפיין P. הוכחות כאלה אינן מספרות לנו מהו המספר המדובר, או מדוע יש לו את הנכס. הוכחות קונסטרוקטיביות, לעומת זאת, מספקות את המידע הזה, ואינטואיציות דורשות הוכחות קונסטרוקטיביות של משפטים מתמטיים.

האינטואיציוניסטים מוצאים את שורשיהם הפילוסופיים בקאנט. עם זאת, הזהירות שלהם לגבי האינסוף צריכה לפנות לאובייקטיביסטים. עמדתם לגבי חוק האמצע המוחרג עשויה להתפרש כדרישה שהצהרה תיקבע כבעלת משמעות לפני שחוקי ההיגיון יוחלו עליה, דרישה שהאובייקטיביזם בהחלט תומך בה. ניתן לראות את התעקשותם על הוכחות קונסטרוקטיביות כאמצעי לציין למה הכוונה בקיומו של מספר.

למרבה הצער, האינטואיציות לא תמיד ברורות לגבי המשמעות והיסודות הפילוסופיים של עמדותיהם; הם מתייחסים לפרטים מתמטיים על חשבון אקספוזיציה פילוסופית. אין הקדמה כמו זו של ראסל או של נאגל וניומן. יש כמה יצירות של אינטואיציוניסטים — בראואר, הייטינג ודומט — בקובץ "פילוסופיה של המתמטיקה, קריאות נבחרות", בעריכת פול בנאסרף והילארי פוטנאם. המבוא לכרך זה מכיל גם דיון ברור בעקרונות האינטואיציה.

אובייקטיביזם

הבנה נכונה של הפשטה היא תנאי מוקדם להסבר מושגים מתמטיים. תיאוריות היסטוריות של מושגים מתמטיים נטו לגלם את ההיבטים הגרועים ביותר של תיאוריות היסטוריות של אוניברסלים; ריאליזם אפלטוני, אידיאליזם קאנטיאני ונומינליזם קיצוני שולטים בנושא.

לזיהויה של איין ראנד את טבעם של האוניברסלים ולניתוחה את תהליך ההפשטה יש הרבה מה לתרום לפילוסופיה של המתמטיקה. עם זאת, אין ספרות אובייקטיביסטית בנושא זה. אינדיקציה לגישה אובייקטיביסטית לנושא ניתנת במאמר "הבסיס הקוגניטיבי של האריתמטיקה" מאת דייוויד רוס. הערותיה של איין ראנד בנושאים מתמטיים שונים כלולות בנספח למהדורת 1990 של מבוא לאפיסטמולוגיה אובייקטיביסטית.

האובייקטיביזם מכיר בקשר עמוק יותר בין מתמטיקה לפילוסופיה מכפי שדמיינו תומכי פילוסופיות אחרות. על פי התיאוריה של איין ראנד , תהליך היווצרות המושגים כרוך בתפיסת היחסים הכמותיים בין יחידות והשמטת המדידות הספציפיות שלהן. בכך היא מציבה את המתמטיקה בליבת הידע האנושי כמרכיב מכריע בתהליך ההפשטה. זוהי השקפה רדיקלית וחדשה על תפקידה של המתמטיקה בפילוסופיה. כפי שניסח זאת לאונרד פיקוף ב" אובייקטיביזם: הפילוסופיה של איין ראנד":

לפיכך, תחום שפילוסופיה אובייקטיביסטית של המתמטיקה חייבת להתייחס אליו הוא המשמעות והמבנה של המדידה בתורת השמטת המדידה; תת-תחום זה של הפילוסופיה של המתמטיקה עשוי להיקרא המתמטיקה של הפילוסופיה. להשקפה האובייקטיביסטית, ראו את דיוניו של ראנד במבוא לאפיסטמולוגיה אובייקטיביסטית, באובייקטיביזם של פיקוף: הפילוסופיה של איין ראנד, וב"תיאוריה של הפשטה" של דייוויד קלי.